✎☛ Démontrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires

Méthode

Soit une base   \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace.
Pour démontrer que deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\b\\ c\\\end{pmatrix}\) et  \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a' \\b'\\ c'\\\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires, on démontre que le système  \(\begin{cases}a=ka' \\ b=kb' \\ c=kc'\end{cases}\) , d'inconnue \(k\) , n'admet pas de solution.

Remarque
Pour démontrer que deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\b\\ c\\\end{pmatrix}\)  et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a' \\b'\\ c'\\\end{pmatrix}\)  ne sont pas colinéaires, on effectue les produits en croix entre leurs coordonnées : 

• \(ab'\)  et  \(ba'\)
  
• \(ac'\)  et \(ca'\)
  
• \(bc'\)  et \(cb'\)
  

Si, pour l'un de ces couples, la valeur des produits est différente, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Énoncé
L'espace est muni d'un repère \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . Soit  \(\text A(-1~;~0~;~2)\) ,  \(\text B(3~;~2~;-4)\)  et  \(\text C(1~;~-4~;~2)\) . Justifier que ces trois points définissent un plan.

Solution 1

Les points   \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{B}\) et \(\mathrm{C}\) définissent un plan \(\mathrm{(ABC)}\) si et seulement s'ils ne sont pas alignés, ce qui revient à dire que les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pas colinéaires.
On a :  \(\overrightarrow{\text A\text B}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6 \\\end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text C}\begin{pmatrix} 2\\ -4 \\0 \\ \end{pmatrix}\) .
On cherche un réel \(k\) tel que  \(\overrightarrow{\text A\text B}=k\overrightarrow{\text A\text C}\) . 
\(k\) vérifie donc le système suivant :  \(\begin{cases}4=2k\\2=-4k\\-6 = 0\end{cases}\) .
Or, la troisième équation du système correspond à une égalité fausse, donc le système n'admet pas de solution.
Les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pas colinéaires.
Les trois points \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{B}\) et \(\mathrm{C}\) ne sont pas alignés. Ils définissent bien un plan.

Solution 2

On a :  \(\overrightarrow{\text A\text B}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6 \\\end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text C}\begin{pmatrix} 2\\ -4 \\0 \\ \end{pmatrix}\) .
Or, les produits en croix  \(4 \times 0=0\)  et  \(-6\times 2=-12\)  sont différents.
Donc les coordonnées des vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pa s proportionnelles.
Donc les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pas colinéaires.  
Les trois points \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{B}\) et \(\mathrm{C}\) ne sont pas alignés. Ils définissent bien un plan.

Remarque

Si l'un des vecteurs comporte une coordonnée nulle et si la coordonnée correspondante de l'autre vecteur n'est pas nulle, alors les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.